En una misma circunferencia o en circ...

 

Relaciones métricas de la circunferencia

 

1) En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, arcos iguales subtienden cuerdas iguales y viceversa.

 

2) Arcos comprendidos entre paralelas son congruentes y viceversa. 

 

3) Si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.

 4) Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces PA*PB=PC*PD

 

 

5) Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento exterior.

Thales de Mileto y su aporte a la geometría.

Thales de Mileto

Nació alrededor del año 624 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) y falleció, también en Mileto, alrededor 547 AC.

Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.

Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia.

Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques. Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.

A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:

1.Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

2.Un circulo es bisectado por algún diámetro.

3.Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.

4.Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.

5.Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Las funciones y su historía

Leonhard Euler

El primer mátemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue Leonhard Euler; al afirmar: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes'' En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilonica, la egipcia y la china.

Gottfried Wilhelm Leibniz

En particular Leibniz utiliza por primera vez en la historia, la palabra "función" . A pesar de que a los 26 años de su vida poco o nada sabía de matemática, éste hombre un genio de su época, emprendió el estudio de esta disciplina recibiendo clases particulares en los intervalos de tiempo libre que le dejaba su trabajo de diplomático. En 1676, año en que se puso al servicio del duque Brunswick, descubrió el llamado Teorema Fundamental del Cálculo . En 1677, 12 años después de que Newton descubriera la misma teoría (el cálculo), Europa conoció sus trabajos. En menos de cincuenta años el cálculo pasaría a ser, en el continente, una herramienta de gran utilidad en la matemática y en las ciencias aplicadas. Cuando Leibniz tenía alrededor de 31 años su descubrimiento del Cálculo Diferrencial e Integral lo había hecho famoso en toda Europa. En cambio para Newton (quien había desarrollado la misma teoría de forma independiente) debido a su aparente repugnancia, el Cálculo de la Fluxiones (como él mismo lo denominó) resultó ser en Inglaterra una simple curiosidad. El concepto de función indiscutiblemente permitió profundizar en el conocimiento de los fenómenos de la naturaleza y al mismo tiempo dió origen a diversas disciplinas, sin las cuáles, no existirían en la actualidad campos tan diversos en ingeniería, matemática y física teórica.

Chistes Matemáticos

1. 2P2A+A2 x 1/5 = KK
2. ¿Qué sucede cuando "n" tiende a infinito? R/ Que infinito se seca...
3. En la mitad de una conferencia de matemáticas un maecillo se levanta y dice: tengo un contra ejemplo para ese teorema. A lo que el conferencista responde: no importa tengo dos demostraciones.
4. Dos matemáticos estan discutiendo en un bar. Uno de ellos dice que la gente no sabe nada de matemáticas, mientras que el otro mantiene que todo el mundo esta preparado para resolver casi cualquier problema que les aparezca en su vida. En esto, el que dice que la gente no sabe nada de matemáticas, se va al baño, y el otro llama a una camarera rubia y le dice :- Mire, ¿me puede hacer un favor? Dentro de un rato le haré unapregunta, y usted me tiene que responder "un tercio de x al cubo".- Un cubo de que?- No, "un tercio de x al cubo".- Un trozo de queso en cubos ?- No, "un tercio de x al cubo", repita.- Un tejido de equis en cubos ? No tiene sentido !- No, no, fijese, lo esta diciendo mal, es "un tercio de x al cubo".- Un tercio de x al cubo ?- Si ! Eso es ! No lo olvide, por favor !En esto que la camarera se aleja repitiendo en voz baja "un tercio dex al cubo", "un tercio de x al cubo"... y el otro matemático vuelve.- Mira, para que veas, vamos a hacerle una pregunta a cualquiera, porejemplo, esa camarera rubia, y veras como nos responde.- Vale. Llamala.- Oiga ! Camarera, por favor !- Si ?- Usted sabe cuanto es la integral de x al cuadrado ?- Ah...! Un tercio de x al cubo... mas la constante de integracion.
5. Un campesino intercambia un conjunto P de papas por un conjunto D de dinero. La cardinalidad del conjunto D es 1000, y cada elemento de D vale una unidad de colones. Dibuja 1000 puntos gordos representando los elementos de D. El conjunto C de los costos de producción esta formado por 200 puntos gordos menos que D. Representa C como un subconjunto de D y da la respuesta correcta a la siguiente pregunta: cual es la cardinalidad del conjunto de beneficios ?
6. Excusas para no hacer los ejercicios de Teoría de números:
   -Es que tengo una calculadora solar, y como estaba nublado...
   -Sé como demostrarlo, pero es que este margen es muy pequeño.
   - Metí los ejercicios en la carpeta y la cerré pero vino un perro tetradimensional y se los comió.
   - Juraría que los guardé en una botella de Klein, pero esta mañana no estaban.
   - Estaba viendo el partido de fútbol cuando se me ocurrió comprobar si convergía... y claro, no me dio tiempo de hacer los ejercicios.
7. ¿Qué es un hijo complejo? R/ El resultado de una madre real y un padre imaginario.
   ¿Qué es un oso polar? R/ Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.
   Dios es real, a menos que sea declarado entero.
8. Un físico, un ingeniero y un matemático van en un tren por el sur de Chile, al observar por la ventana ven una oveja negra.- Ahh, dice el físico, "veo que las ovejas chilenas son negras".- Mmm..., dice el ingeniero, "querrás decir que algunas ovejas chilenas son negras".- No, dice el matemático, "todo lo que sabemos es que existe al menos una oveja en Chile, y que por lo menos uno de sus lados es negro".
9. Sucedió que un día estaban muy aburridos los números y las funciones, así que para matar el aburrimiento, se les ocurrió hacer una fiesta. Dicho y hecho arrendaron un local y comenzaron el cachondeo.Lo estaban pasando de miedo, el 69 para que les cuento, entre la función seno y el número pi se iniciaba un romance, etc., en fin el desmadre era máximo.Resultó que la derivada muy envidiosa decide ir y aguar la fiesta. Cuando llega, horror total, salen todos los números y funciones apretando cachete, un verdadero desastre, todos muy urgidos con la derivada, está muy orgullosa de su poder, ve que alguien ni se inmuta con su presencia, así que se dirige hacia él y lo increpa:- Oye tú, acaso no me tienes miedo.- No.- Sabes quien soy.- Sí.- Y entonces porque no arrancas como todos los otros.- Porque no quiero.- ¿Quién eres tú que te atreves a hablarme así?- Soy la exponencial.
10. ¿Cómo puedes saber si tu novia es buena con las matemáticas?- Examínala. Sustráele su ropa, súmala a tu dormitorio, divide sus piernas y dale uno entero.
11. TEOREMA: "Todos los números enteros son interesantes" DEMOSTRACIÓN: Supongamos que no es así, por lo tanto existe como mínimo un número entero no interesante. Entonces, uno se pregunta “¿cuál será ese número?” por lo que este número es, obviamente interesante, lo cual contradice la hipótesis de partida de que no es interesante. Por contradicción, la suposición de que existen números enteros no interesantes es falsa.
12. Se abre el telón y se ven tres vectores linealmente independientes. ¿Cómo se llama la obra? Rango 3.
13. Un matemático es una maquina que transforma café en teoremas.
14. -Tú que eres matemático, ¿crees en Dios?
    - Sí, salvo endomorfismos.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Circunferencias Congruentes

Dos o más circunferencias son congruentes si su radios son congruentes.

Circunferencias Concéntricas

Dos o más circunferencias son concéntricas si tienen el mismo centro, pero diferentes radios, además son coplanarias. La distancia entre sus centros es cero.

Circunferencias Tangentes Exteriormente

Dos circunferencias son tangentes exteriormente si una de ellas se encuentra en el exterior de la otra y se intersecan en un solo punto. La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

Circunferencias Tangentes Interiormente

Dos circunferencias son tangentes interiormente si una de ellas se encuentra en el interior de la otra y se intersecan en un solo punto. La distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios.

Circunferencias Secantes

Dos circunferencias son secantes si se cortan en dos puntos. La distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.

Ángulos y arcos en la circunferencia

Ángulo Central

Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Note que los lados del ángulo están formados por radios. Un ángulo central mide exactamente lo mismo que la medida en grados (radianes) que el arco que subtiende.

Ángulo Inscrito

Ángulo cuyo vértice es un punto arbitrario de la circunferencia. Note que los lados del ángulo están formados por dos cuerdas. Un ángulo inscrito mide exactamente igual que la mitad del arco que subtiende.

Ángulo Seminscrito

Ángulo cuyo vértice es un punto arbitrario de la circunferencia. Note que a diferencia del ángulo anterior los lados están formados por una cuerda y una tangente. Un ángulo Seminscrito mide exactamente igual que la mitad del arco que subtiende.

Ángulo Interno

Ángulo cuyo vértice está en el interior de la circunferencia. Note que los lados del ángulo están formados por dos cuerdas. A diferencia del ángulo inscrito, este ángulo no tiene su vértice en la periferia de la circunferencia. Un ángulo interno mide exactamente igual que la mitad de la suma de los arcos que subtiende.

Ángulo Externo

Ángulo cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia. Note que los lados del ángulo pueden estar formados por: una tangente y una secante, dos tangentes o dos secantes. Un ángulo externo mide exactamente igual que la mitad de la diferencia del arco mayor y el arco menor que subtiende.

Teoremas básicos de la circunferencia

Teorema 1

Un radio perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda. Y viceversa, si un radio biseca a una cuerda de la circunferencia, entonces el radio y la cuerda son perpendiculares.

"En la figura anterior el segmemto AC es congruente con el segment0 CB"

Teorema 2

Una recta perpendicular a un radio en su punto extremo, es tangente a la circunferencia. Y viceversa, toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por el punto de tangencia.

"En la figura anterior el segmento OB es perpendicular al segmento AC"

Teorema 3

Las tangentes trazadas de una circunferencia a un punto exterior son congruentes, además el segmento que une el centro de la circunferencia con el punto exterior es bisectriz del ángulo central y del ángulo externo. Y viceversa.

"En la figura anterior el segmento AB es congruente con el segmento BC y además la recta OB es bisectriz del ángulo central AOC y del ángulo externo ABC"

Teorema 4

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del centro. Y viceversa, en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

"En la figura anterior los segmentos DE, EF, AC y CB son congruentes entre sí, además los arcos AB y DF son congruentes."